PARCIAL 2

     MATERIA:

GEOMETRÍA ANALÍTICA.

PROPÓSITO DE LA ASIGNATURA:

Que el estudiante interprete, argumente, comunique y resuelva diversas situaciones problemáticas de su contexto por medios gráficos y analíticos, que incluyan la representación de figuras en el plano cartesiano.

RELACIÓN DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA CON OTRAS ASIGNATURAS:

• Lectura, Expresión Oral y Escrita: Comprensión y escritura de textos, comunicación y argumentación de ideas o soluciones de situaciones problemáticas.

• Química y Bioquímica: Construcción de modelos matemáticos y en la solución de los modelos que resulten de estas formulaciones, graficación de átomos y moléculas en el plano o en el espacio.

• CTS y V: Construcción de modelos matemáticos que representen el desarrollo sustentable, deterioros y/o hechos sociales.

• TIC's: Empleo de herramientas computacionales para facilitar el aprendizaje de la materia.

• Física: Uso de modelos matemáticos, representación gráfica de los fenómenos naturales, conversiones de unidades, etc.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES:

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

ESTRUCTURA CONCEPTUAL DE LA MATERIA GEOMETRÍA ANALÍTICA:

HISTORIA DE LA ASIGNATURA:

• La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media.

• Un paso importante en esta ciencia lo dio francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", fue publicado en 1637. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

• La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclíde.

• Posteriormente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones algebraicas o no hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss.

• Gauss devuelve el caracter geométrico que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría Diferencial.

LOS PRINCIPALES MATEMÁTICOS Y FILÓSOFOS QUE CONTRIBUYERON AL DESARROLLO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA SON:

1. Se atribuye a Menecmo  la introducción de los términos de secciones cónicas, para referirse a las curvas que después recibieron el nombre de elipse, parábola e hipérbola. Estas curvas se llamarían a partir de la descripción de cómo habían sido descubiertas, es decir, sección (trazando perpendiculares a una generatriz) de cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo para referirse a la elipse, a la parábola y a la hipérbola, 

respectivamente.

2. Apolonio de Pérga quien realizó el trabajo Las Cónicas, también clasificó a estas curvas en elipses, hipérbolas y parábolas. Descubrió que las cónicas poseen las llamadas propiedades de reflexión, por lo que fue capaz de construir espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos según sea la forma de la curva cónica que gira alrededor de su eje. 

3. René Descartes en el año de 1637, Descartes publicó la obra Geometrie en el cual, Descartes expresa su método geométrico:

“Una curva en un plano queda definida por alguna propiedad

determinada que sea válida para todos y cada uno de los

puntos de la curva”

Descartes establece una correspondencia entre las curvas planas y las ecuaciones de dos variables; para cada curva hay una ecuación determinada f(x, y) = 0, y para cada ecuación f(x, y) = 0 existe una curva determinada, de esta manera,proporciona una interpretación geométrica al álgebra

y la geometría la transforma a álgebra, valiéndose de un sistema coordenado en los que establece una correspondencia biunívoca entre puntos y números reales.

4. Pierre de Fermat. En 1629 Fermat ya había comunicado haber encontrado la ecuación general de la línea recta, la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y las ecuaciones de la elipse, la parábola y la hipérbola rectangular. Elaboró un método para encontrar las tangentes a la curva cuando éstas son paralelas al eje x, que bien puede considerarse como un ingenioso antecedente para el Cálculo Diferencial de Newton.

5. Gottfried Wilhelm Leibniz, fue el primer científico en utilizar la palabra función (1694), para denominar a cualquier cantidad relacionada con una curva, como por ejemplo las coordenadas de algún punto o la pendiente de dicha curva.

6. Isaac Newton, en su obra, "Enumeración de las Curvas de Tercer Orden", publicada en 1704,  descubrio nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.

7. Leonhard Euler, empleó la palabra función para describir cualquier expresión con variables y varias constantes (alrededor de 1734) e introdujo la notación y = f(x), en las ciencias matemáticas. Proporcionó a la geometría analítica un aspecto próximo al actual, en su obra del segundo tomo de "Introducción al Análisis" (1748).

8. Le precedió sólo Alexis Claude Clairaut (1713-1765) que extendió la geometría analítica al espacio tridimensional mediante la introducción de un sistema de tres ejes coordenados rectangulares.

9. La denominación, a esta ciencia como geométrica analítica, fue introducida por primera vez por el matemático francés Silvestre Francois Lacroix a finales del siglo XVIII. El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significando la aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables.

PROGRAMA PARA LA ASIGNATURA DE GEOMETRIA ANALÍTICA.

1.- PLANO CARTESIANO. 
- Componentes del plano cartesiano.

- Componentes de las coordenadas.

- Ubicación de puntos.

2.- SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARES.
- Distancia entre dos puntos.
- División de un segmento en una razón dada.
- Punto medio.
- Perímetros y áreas. 

3.- SISTEMAS COORDENADOS POLARES. 
- Radio vector.
- Angulo Polar.
- Transformaciones del sistema coordenado polar al rectangular y viceversa.

4.- LUGARES GEOMÉTRICOS EN LA RECTA.
- Pendiente y ángulo de inclinación.
- Forma de la ecuación de una recta.
- Intersección de las rectas.
- Relación entre rectas.
- Rectas notables del triangulo.

5.- LUGARES GEOMÉTRICOS EN UNA SECCIÓN CÓNICA. 
-Circunferencia.
- Parábola.
- Elipse.
- Hipérbola.

1.- PLANO CARTESIANO.

- Componentes del plano cartesiano.
Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

- Componentes de las coordenadas.

Se representa como:

P (x, y)

DONDE:

P = PUNTO.

X= Sera el primer valor que se tomara en cuenta para avanzar desde el origen hacia el valor determinado, tomando en cuenta su signo, que sera la dirección hacia donde se desplazaran sobre el eje de las X (Recta horizontal).

Y= Sera el segundo valor que se tomara en cuenta, partiremos desde donde avanzamos en X hasta el valor determinado, tomando en cuenta su signo, que sera la dirección hacia donde se desplazaran sobre el eje de las Y (Recta vertical).

- Ubicación de puntos.

2.- SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARES.

El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un objeto matemático formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano. Las rectas son llamadas ejes, la recta horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y. Además, los ejes dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes.

- Distancia entre dos puntos.
Es la trayectoria descrita por una línea de un punto A hacia un punto B , donde la línea recta entre los dos puntos sera la distancia entre ellos. 
La formula para calcularla es la siguiente:

- División de un segmento en una razón dada.
Consiste en determinar una posición (P) del elemento en cual se encuentra el suso dicho (Segmento) dado entre dos puntos (XY), de tal manera que las dos partes PX y PY constituyen a la razón dada.

Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las coordenadas de un punto  que satisface la comparación entre dos magnitudes. 

En general, si la razón es de la forma , implica que el segmento se divide en a + b partes. Por ejemplo, si , el segmento se divide en 11 partes iguales. 

Sean los puntos,  así como el segmento de recta que los une:

- Punto medio.

Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

- Perímetros y áreas. 
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.Para obtener el perímetro de un polígono conociendo sus vértices basta con solo calcular las distancias entre ellos y sumarlas.
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

3.- SISTEMAS COORDENADOS POLARES. 

En este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

-Radio vector.

Las distancias desde un punto de la elipse hasta cada uno de los focos se llaman radios vectores correspondientes a dicho punto.

- Angulo polar.
El ángulo polar se mide como en Trigonometría considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ángulo , es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo o negativo según que el sentido seguido sea opuesto al de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo los convenios hechos en Trigonometría, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los valores reales. 

- Transformaciones del sistema coordenado polar al rectangular y viceversa.

4.- LUGARES GEOMÉTRICOS EN LA RECTA.

 -Pendiente y ángulo de inclinación.
 *En geometría analítica, puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta(o  coeficiente angular) como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso  representa la derivada de la función en el punto considerado.
 *El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje x. La medida del  ángulo se toma en sentido contrario a las agujas del reloj.
se representa con la letra m en la ecuación general de la recta.

-Forma de la ecuación de una recta .
La ecuacion de la recta se define como:
Y=mx+b 
 
-Intersección de las rectas.
La intersección entre dos rectas viene determinada por un punto, como éste pertenece a ambas rectas, debe satisfacer ambas ecuaciones por lo que para calcular las coordenadas del punto resolvemos el sistema de ecuaciones obteniendo así el valor de x e y.

 -Relación entre rectas. 
 *Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 4 ángulos congruentes. 
 *Dos rectas son paralelas si nunca se cortan o son coincidentes.

 -Rectas notables del triangulo.

• Mediatriz 

Recta perpendicular a un segmento que se traza en su punto medio

• Mediana

Cada una de las tres semi-rectas que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

• Altura

Es la longitud de la figura.

• Bisectriz

Es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

5.- LUGARES GEOMÉTRICOS EN UNA SECCIÓN CÓNICA. 

-Circunferencia.

Se conoce como circunferencia a la línea cerrada de formato curvo y apariencia plana en la cual los puntos resultan equidistantes del punto central que se localiza en el mismo plano. Esta distancia que separa al conjunto de puntos y al área central se conoce como radio, mientras que el segmento de recta que compone un par de radios alineados recibe el nombre de diámetro.

- Parábola.

Es un término que proviene del latín parabŏla y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego. En el ámbito de la matemática, la parábola es el espacio geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una recta. Este lugar se crea a partir de la acción de un plano que es paralelo a la generatriz y que disecciona un cono circular.

- Elipse.

Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

- Hipérbola.

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

AUTOEVALUACIÓN

Elige la respuesta que consideres correcta.

A.-PLANO CARTESIANO.

1.-El plano cartesiano esta formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. ¿Como se le llaman a estas dos rectas respectivamente?.

                  a) 1 y 2                  b) X y Y                  c) A y Z                   d) A y B 

2.-Con base a la pregunta anterior. ¿Como se le llama al punto donde cortan esas dos rectas perpendiculares?.

                  a) Origen                b) Inicio                  c) Punto                 d) Final 

3.-¿Como se representa la coordenada de un punto en el plano cartesiano?.

                  a) .1(X,Y)                b) .1(Y,X)                c) P1 (Y,X)             d) P1 (X,Y)

4.-¿Cual es el primer valor que se tomara en cuenta para avanzar desde el origen hacia el valor determinado?

                   a)  Y                        b) P                       c) X                        d) Z 

B.-SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARES.

5.-¿Como se le llama a la trayectoria descrita por una línea de un punto A hacia un punto B en el plano cartesiano?

                 a)  Desplazamiento    b) Recorrido   c) Distancia entre dos puntos  d) Linea

6.-¿Como se le llama al punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos? 
                a)  Punto                     b) P                 c) Origen                      d) Punto medio 

7.-Si sabemos que para calcular el perímetro de un polígono se suman todas las distancias que hay entre los vértices ¿Que formula usarías para calcular el perímetro de un polígono sobre el plano cartesiano en un sistema de coordenada rectangular?


8.-¿Como se divide el plano cartesiano en un sistema coordenado rectangular?

             a) Grados( π Radianes )  b) Unidades      c) 4 cuadrantes      d) Segmentos

C.-SISTEMAS COORDENADOS POLARES.

9.-¿A que se le llama a la distancia desde un punto de la elipse hasta cada uno de los focos en un sistema coordenado polar?
        
           a)  Radianes    b) Radio vector    c) distancia entre dos puntos  d) Segmentos

10.-¿que se puede medir considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final?

           a)  Pendiente      b) Angulo polar       c) distancia        d) Segmentos

11.-¿Que formula podemos utilizar para calcular  r (radio vector) ?

12.-¿Como se divide el plano cartesiano en un sistema coordenado polar?

             a) Grados( π Radianes )  b) Unidades      c) 4 cuadrantes      d) Segmentos

D.-LUGARES GEOMÉTRICOS EN LA RECTA.

13.-¿Con que formula podemos encontrar la pendiente conociendo las coordenadas?

14.-¿Como se representa la ecuación de la recta? 

15.-¿Como se le llama cuando un punto pertenece a dos rectas?

           a)  Punto      b) Interseccion       c) Pendiente     d) Segmentos

16.-Se dice que dos rectas que nunca se cortan o son coincidentes son:

          a)  Horizontales      b) Verticales       c) Perpendiculares     d) Paralelas

E.-LUGARES GEOMÉTRICOS EN UNA SECCIÓN CÓNICA.

17.- ¿Como se le llama a la línea cerrada de formato curvo y apariencia plana en la cual los puntos resultan equidistantes del punto central que se localiza en el mismo plano?

       a)  Circunferencia      b) Parábola      c) Elipse     d) Hipérbola

18.-¿Como se le llama a la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría? 

       a)  Circunferencia      b) Parábola      c) Elipse     d) Hipérbola

19.-¿Como se le llama al espacio geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una recta?
  
     a)  Circunferencia      b) Hipérbola     c) Elipse     d) Parábola

20.-¿Como se le llama a la sección cónica o curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría?

       a)  Circunferencia      b) Parábola      c) Hipérbola     d) Elipse

.
RESPUESTAS:
  1.- b)        2.- a)         3.- d)         4.- c)
  5.- c)        6.- d)         7.- b)         8.- c)
  9.- b)      10.- b)       11.- c)       12.- a)
13.- d)      14.- a)       15.- b)       16.- d)
17.- a)      18.- c)       19.- d)       20.- c)

Para obtener tu calificación suma el numero de aciertos y el resultado lo multiplicas por 0.5