PARCIAL 3

Geometría y Tigonometría

PROPÓSITOS DE LA ASIGNATURA:

Que el estudiante interprete y resuelva problemas contextualizados que requieran la orientación espacial, a través del análisis, representación y solución por medio de figuras y procedimientos geométricos y algebraicos.

RELACIÓN DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA CON OTRAS ASIGNATURAS:

Lectura, Expresión Oral y Escrita:

 Comprensión y escritura de textos, comunicación y argumentación de ideas o soluciones de situaciones problemáticas.

Química y Bioquímica: 

Construcción de modelos matemáticos y en la solución de los modelos que resulten de estas formulaciones, graficación de átomos y moléculas en el plano o en el espacio.

  CTS y V:

 Construcción de modelos matemáticos que representen el desarrollo sustentable, deterioros y/o hechos sociales.

TIC's:

 Empleo de herramientas computacionales para facilitar el aprendizaje de la materia.

Física:

 Uso de modelos matemáticos, representación gráfica de los fenómenos naturales, conversiones de unidades, etc.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES:

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2.  Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacio-nales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comuni-cación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o esti-mar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

ESTRUCTURA CONCEPTUAL DE LA MATERIA: 

HISTORIA

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría cinetífica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como onclusiones lógicas de un número limitado de axiomas o postulados.

Así, con Euclides, Arquímedes y Apolonio, la geometría griega llega a su culminación. La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la Edad Media

PERSONAS QUE CONTRIBUYERON AL 

DESARROLLO DE LA MATERIA:

PITAGORAS: 

En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría cinetífica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como onclusiones lógicas de un número limitado de axiomas o postulados.

ARQUIMEDES:

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros.

René Descartes: 

Un desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX por René Descartes.

PROGRAMA PARA LA ASIGNATURA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRIA.

1.-TRIÁNGULOS
       Tipos de triángulos por:
          *Longitud
          *Ángulos
       Ángulos dentro de un triangulo
       Triángulos en un cuadrante

2.- ÁNGULOS

       Internos

       Externos

       Complementarios

       Suplementarios

3.-POLÍGONOS
       Ángulos
       Diagonales
       Perímetros
       Áreas

4.-CIRCUNFERENCIAS

       Ángulos de la circunferencia

       Áreas de figuras circulares

       Perímetro. 

5.- RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

        Razones trigonométricas

        Funciones trigonométricas

       Identidades fundamentales

       

TRIÁNGULOS 

EQUILÁTERO:

Tres lados iguales

Tres ángulos iguales, todos 60°

ISÓSCELES

Dos lados iguales

Dos ángulos iguales

ESCALENO

No hay lados iguales

No hay ángulos iguales

RECTÁNGULO

Un ángulo de 90°

ACUTÁNGULO

Todos los ángulos miden menos de 90°

OBTUSÁNGULO

Tiene un ángulo mayor que 90°

TRIÁNGULOS EN UN CUADRANTE

Al poner un triangulo en un cuadrante podemos comprobar si las funciones que hemos realizado son las correctas, 

• Primer cuadrante tanto para la recta de las Y como para el de las X son positivas las dos.
• Segundo cuadrante la recta de las Y es positiva y la recta de las X negativa.
• Tercero las dos son negativas.
• Cuarto cuadrante la recta de las Y es negativa y la recta de las X es positiva.

Esta técnica nos sirve para Geometría y Trigonometría o Física.

DIFERENCIA ENTRE 

ÁNGULOS INTERNOS vs ÁNGULOS EXTERNOS

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

ÁNGULOS INTERNOS COLOR ROJO       =    A1 + A2 + A3 = 180°

ÁNGULOS EXTERNOS COLOR VERDE  =    A1 + A2 + A3 = 360°

ÁNGULOS...

COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

TIPOS DE ÁNGULOS POR TAMAÑO

Ángulo llano: Ángulo llano es el que mide 180º. Ángulo Completo: Ángulo completo es el que mide 360º. Ángulo nulo: Ángulo nulo es el que mide 0º. Ángulo recto: Ángulo recto es el que mide 90º. Ángulo agudo: Ángulo agudo es aquel que mide menos de 90º. Ángulo obtuso: Ángulo obtuso es aquel que mide más de 90º.

Ángulos Consecutivos Ángulos consecutivos son aquellos que tienen un mismo vértice y un lado en común. Ángulos Adyacentes Estos ángulos son consecutivos y juntos forman un ángulo llano. Ángulos opuestos por el vértice Tienen el vértice en común y los lados en prolongacion. POLIGONOS En geometria, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia limitada de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se denomina polícoro. PERIMETROS Y AREAS El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y su área es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono. Recuerda:

 

- El perímetro de un triángulo escaleno (todos los lados distinta medida) de lados a, b y c se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

 

P = a + b + c

 

- El perímetro de un triángulo isósceles (dos lados igual medida) de lados a y base b se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

 

P = a + a + b, es decir,

P = 2 • a + b

 

- El perímetro de un triángulo equilátero (todos los lados igual medida)  de lado a se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

 

P = a + a + a, es decir,

P = 3 • a

Cálculo del perímerto

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados

 

P = a + a + a + a, es decir,

P = 4 * a

 

- Cálculo del área

 

Para calcular el área de un cadrado multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

 

A = lado x lado = lado²

 

A = a • a

 

4- Área y perímetro del rectángulo

- Cálculo del perímerto

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados
 

P = a + a + b + b, es decir,
P = 2 • a + 2 • b

 

- Cálculo del área

Para calcular el área de un rectángulo multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

 

 

A = base x altura.

 

A=a+b

 

 

5- Área y perímetro del romboide

El perímetro del romboide es igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados.

P = 2 • a + 2 • b

- Cálculo del área

Se obtiene a partir del área del rectángulo, multiplicando la base por la altura del romboide (no por el otro lado).

 

 

A = base x altura

 

 

6-  Área y perímetro del rombo

 

- Cálculo del área

Para calcular el área del rombo, recuerda que éste es un cuadrilátero con cuatro lados iguales, paralelos dos a dos.

 

Si unimos los vértices opuestos, obtenemos su diagonal mayor (la que mide más) y su diagonal menor (la que mide menos).
 

El área del rombo resultará de multiplicar su diagonal mayor por su diagonal menor y dividirlo por dos.

 

 

.

 

- Cálculo del perímerto

Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro.

 

¿Cómo calculo  el perímetro si sólo tengo el valor de las diagonales del rombo?

 

 

En la figura de arriba, aparece un triángulo coloreado en verde. Ese triángulo está formado por un cateto o lado que es la mitad de la diagonal mayor (D/2), otro cateto o lado que es la mitad de la diagonal menor (d/2) y por la hipotenusa (a), que es a su vez lado del rombo.

 

Entonces, recordemos, para aplicarlo, el Teorema de Pitágoras:

 

a² = b² + c²

CIRCUNFERENCIAS

1. 1.

   Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

   "calcular la longitud de una circunferencia"
2. 2.

   Contorno o perímetro de una superficie u otra cosa con forma redondeada o esférica.

Distíngase del circulo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perimetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilindrica, o como un poligono regualr de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador.

       ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en  la circunferencia.El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.		El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.
Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.		La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.
Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.		La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

                                    

                                           

RELACIONES TRIGONOMETRICAS

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonometricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonometricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en fisica, astronomia, cartografia, nautica, telecomunicaciones la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

                 

EVALUACION

TRIANGULOS

1.- Los triángulos se clasifican por sus...

      a) Ángulos y lados                        b)Tamaño y lados                                c)Altura y ángulos

2.- ¿Que nombre reciben los triángulos cuando se clasifican por sus lados?

      a) Equilateros,                              b) Isoceles,                                           c) Equilatero,
          Acutangulos,                                 Rectangulo,                                         Isoceles,

          Escalenos.                                     Obtusangulo.                                       Escaleno.

3.- ¿Que nombre reciben los triangulos cuando se clasifican por sus ángulos?

     a) Rectangulo,                               b) Escaleno,                                          c) Rectangulo,          

         Escaleno,                                        Isoceles,                                               Acutangulo,

         Equilatero.                                      Acutangulo.                                         Obtusangulo.

4.- ¿En que orden se cuentan los cuadrantes?

      a) Como giran las                         b) Al contrario de las                            c) De arriba hacia abajo

          manesillas del reloj.                      manesillas del reloj

ÁNGULOS

5.- ¿Cuanto suman los ángulos internos?

     a) 360°                                           b) 180°                                                  c) 90°

6.- ¿Cuanto suman los ángulos externos?

     a) 360°                                           b) 180°                                                  c) 90°

7.- ¿Cuanto suman los ángulos complementarios?

     a) 360°                                           b) 180°                                                  c) 90°

8.- ¿Cuanto suman los ángulos suplementarios?

     a) 360°                                           b) 180°                                                  c) 90°   

POLÍGONOS

9.- ¿Como se llama el polígono de 6 lados?

     a) Seisxagono                                b) Hexagono                                         c) Dodecagono

10.-¿Como se llama el poligono de 8 lados?

      a) Octagono                                 b) Heptagono                                         c) Pentagono

11.- ¿Como se le llama a la sumatoria de cada lado de un poligono?

       a) Area                                        b) Perimetro                                           c) Altura

12.- ¿Como se le llama a la zona total de un poligono, regularmente se saca multiplicando LxL?

       a) Area                                        b) Perimetro                                           c) Altura

CIRCUNFERENCIA

13.- Recta que toca dos puntos de la circunferencia por el centro y suele ser la mas amplia.

       a) Radio                                       b) Arco                                                  c) Diamentro

14.- Recta que va desde el punto medio de la circunferencia a un extremo cualquiera.

       a) Secante                                    b) Cuerda                                               c) Radio

15.- Recta que pasa por fuera de la circunferencia y solo la toca en un punto.

       a) Arco                                         b) Tangente                                            c) Radio

16.- Segmento curvo de la circunferencia que queda definido por la longitud de una cuerda.

       a) Tangente                                  b) Secante                                               c) Arco

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

17.- ¿Como se le llama a la igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas?

       a) Identidades                              b) Identidades                                          c) Relaciones 

           fundamentales                              trigonométricas                                       trigonométricas

18.- Funciones establecidas con el fin de extender la definición de razones trigonométricas a todos los números reales.

        a) Identidades                              b) Identidades                                          c) Funciones 

           fundamentales                              trigonométricas                                       trigonométricas

19.- Es el conjunto de funciones e identidades trigonométricas.

       a) Funciones                                b) Identidades                                          c) Relaciones 

           trigonometricas                            trigonometricas                                       trigonometricas

20.- ¿Que términos son usados en las funciones trigonometricas?

       a) Seno, Coseno, Tangente          b) Seno, Coseno, Tangente                      c) Seno y Coseno

           e inversas                                     sin inversas                       

                                    

RESPUESTAS

1.- A                 5.- C                    9.- B                  13.- C                 17.- B

2.- C                 6.- A                  10.- A                  14.- C                 18.- C

3.- C                 7.- C                  11.- B                  15.- C                 19.- B

4.- B                 8.- B                  12.- A                  16.- C                 20.- A